stainafj.ac.id

• by admin
• 0
• Posted on November 21, 2025

Contoh soal matematika sma kelas 11 semester 1

Menaklukkan Matematika Kelas 11 Semester 1: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal

Memasuki jenjang SMA kelas 11, materi matematika seringkali terasa semakin menantang. Semester 1 biasanya menjadi gerbang awal untuk memahami konsep-konsep yang lebih abstrak dan fundamental, yang menjadi dasar bagi materi-materi di semester berikutnya dan bahkan di jenjang perkuliahan. Bagi banyak siswa, matematika di kelas 11 bisa menjadi momen krusial untuk mengasah kemampuan berpikir logis, analitis, dan problem-solving.

Artikel ini hadir untuk membantu Anda menaklukkan materi matematika kelas 11 semester 1. Kita akan membahas beberapa topik penting beserta contoh soal yang sering muncul, lengkap dengan pembahasan mendalam. Tujuannya adalah agar Anda tidak hanya sekadar menghafal rumus, tetapi benar-benar memahami esensi dari setiap konsep.

Topik Kunci Matematika Kelas 11 Semester 1:

Semester 1 kelas 11 biasanya mencakup beberapa bab utama. Urutan dan kedalaman materi bisa sedikit bervariasi antar kurikulum atau sekolah, namun beberapa topik yang paling umum meliputi:

1. Program Linear: Melibatkan penyelesaian masalah optimasi menggunakan pertidaksamaan linear.
2. Matriks: Konsep dasar matriks, operasi matriks (penjumlahan, pengurangan, perkalian), dan determinan serta invers matriks.
3. Transformasi Geometri: Pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi), perputaran (rotasi), dan perkalian (dilatasi) pada bidang datar.
4. Barisan dan Deret: Meliputi barisan dan deret aritmetika serta geometri, termasuk deret tak hingga.

Mari kita selami setiap topik ini dengan contoh soal dan pembahasannya.

>

1. Program Linear: Mengoptimalkan Keuntungan dan Kebutuhan

Program linear adalah cabang matematika yang digunakan untuk menemukan solusi optimal (maksimum atau minimum) dari suatu masalah yang dapat dimodelkan dengan fungsi linear, dengan adanya kendala yang juga berbentuk linear. Dalam konteks SMA, seringkali dihadapkan pada masalah ekonomi, produksi, atau alokasi sumber daya.

Konsep Kunci:

• Fungsi Tujuan: Fungsi yang nilainya ingin dioptimalkan (dimaksimalkan atau diminimalkan), biasanya dinyatakan dalam bentuk $Z = ax + by$.
• Fungsi Kendala: Batasan-batasan yang harus dipenuhi, dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linear.
• Daerah Feasible (Daerah Himpunan Penyelesaian): Area pada grafik yang memenuhi semua fungsi kendala.
• Titik Optimum: Titik sudut (titik pojok) dari daerah feasible yang memberikan nilai fungsi tujuan maksimum atau minimum.

Contoh Soal 1:

Seorang pengusaha kerajinan tangan memproduksi dua jenis barang, yaitu vas bunga (x) dan patung (y). Untuk memproduksi satu buah vas bunga, dibutuhkan waktu 2 jam kerja dan biaya Rp5.000. Untuk memproduksi satu buah patung, dibutuhkan waktu 3 jam kerja dan biaya Rp10.000. Pengusaha tersebut memiliki waktu kerja maksimal 120 jam per minggu dan anggaran maksimal Rp400.000 per minggu. Keuntungan dari penjualan satu vas bunga adalah Rp15.000 dan satu patung adalah Rp20.000.

Tentukan keuntungan maksimal yang dapat diperoleh pengusaha tersebut per minggu!

Pembahasan:

Langkah pertama adalah merumuskan masalah ini ke dalam bentuk matematis.

• Variabel:

  • $x$: jumlah vas bunga yang diproduksi
  • $y$: jumlah patung yang diproduksi

• Fungsi Tujuan (Keuntungan yang ingin dimaksimalkan):
  $Z = 15.000x + 20.000y$

• Fungsi Kendala:

  1. Kendala waktu kerja: $2x + 3y le 120$
  2. Kendala anggaran: $5.000x + 10.000y le 400.000$ (disederhanakan menjadi $x + 2y le 80$)
  3. Kendala non-negatif: $x ge 0$ dan $y ge 0$ (jumlah barang tidak mungkin negatif)

Selanjutnya, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah feasible.

• Titik Potong Sumbu-sumbu:

  • Dari $2x + 3y = 120$:
    • Jika $x=0$, maka $3y = 120 implies y = 40$. Titik: (0, 40).
    • Jika $y=0$, maka $2x = 120 implies x = 60$. Titik: (60, 0).
  • Dari $x + 2y = 80$:
    • Jika $x=0$, maka $2y = 80 implies y = 40$. Titik: (0, 40).
    • Jika $y=0$, maka $x = 80$. Titik: (80, 0).

• Titik Potong Antar Kendala:
  Kita perlu mencari titik potong antara garis $2x + 3y = 120$ dan $x + 2y = 80$.
  Dari persamaan kedua, $x = 80 – 2y$. Substitusikan ke persamaan pertama:
  $2(80 – 2y) + 3y = 120$
  $160 – 4y + 3y = 120$
  $160 – y = 120$
  $y = 160 – 120 = 40$
  Sekarang cari nilai $x$:
  $x = 80 – 2(40) = 80 – 80 = 0$.
  Ternyata titik potongnya adalah (0, 40), yang sudah kita temukan sebelumnya. Ini berarti salah satu kendala tidak efektif dalam membatasi daerah feasible, atau titik potongnya berada di sumbu y.

  Perhatian: Dalam contoh ini, titik (0, 40) adalah perpotongan kedua garis. Mari kita cek kembali kendalanya.
  $2x + 3y le 120$
  $x + 2y le 80$

  Jika kita menggunakan titik uji (0,0):
  $2(0) + 3(0) le 120 implies 0 le 120$ (Benar)
  $0 + 2(0) le 80 implies 0 le 80$ (Benar)
  Jadi, daerah feasible berada di bawah kedua garis.

  Titik-titik pojok dari daerah feasible adalah perpotongan dari garis-garis batas.

  1. Perpotongan sumbu x dan sumbu y: (0, 0)
  2. Perpotongan $2x + 3y = 120$ dengan sumbu x ($y=0$): $2x = 120 implies x = 60$. Titik: (60, 0).
  3. Perpotongan $x + 2y = 80$ dengan sumbu y ($x=0$): $2y = 80 implies y = 40$. Titik: (0, 40).
  4. Perpotongan $2x + 3y = 120$ dan $x + 2y = 80$.
     Dari $x + 2y = 80 implies x = 80 – 2y$.
     Substitusikan ke $2x + 3y = 120$:
     $2(80 – 2y) + 3y = 120$
     $160 – 4y + 3y = 120$
     $160 – y = 120$
     $y = 40$.
     $x = 80 – 2(40) = 80 – 80 = 0$.
     Titik ini adalah (0, 40).

  Ternyata, ada kesalahan dalam penentuan titik potong antara kendala. Mari kita periksa kembali contoh soalnya atau buat modifikasi agar ada titik potong yang berbeda.

  Modifikasi Contoh Soal 1 Agar Lebih Bervariasi:
  Misalkan anggaran per minggu adalah Rp300.000. Maka kendala anggaran menjadi $5.000x + 10.000y le 300.000$, atau $x + 2y le 60$.

  • Fungsi Kendala (Modifikasi):

    1. $2x + 3y le 120$
    2. $x + 2y le 60$
    3. $x ge 0, y ge 0$

  • Titik Potong Antar Kendala (Modifikasi):
    $2x + 3y = 120$
    $x + 2y = 60 implies x = 60 – 2y$
    Substitusikan ke persamaan pertama:
    $2(60 – 2y) + 3y = 120$
    $120 – 4y + 3y = 120$
    $120 – y = 120$
    $y = 0$.
    $x = 60 – 2(0) = 60$.
    Titik potongnya adalah (60, 0).

  Sepertinya masih ada kendala dalam membuat titik potong yang menarik. Mari kita ubah kembali soal agar lebih representatif untuk menemukan 4 titik pojok yang berbeda.

  Contoh Soal 1 (Final & Sesuai untuk Pembahasan):
  Seorang petani memiliki lahan seluas 10 hektar untuk ditanami padi dan jagung. Untuk setiap hektar padi, dibutuhkan 6 jam kerja dan menghasilkan keuntungan Rp800.000. Untuk setiap hektar jagung, dibutuhkan 4 jam kerja dan menghasilkan keuntungan Rp600.000. Total jam kerja yang tersedia adalah 48 jam. Berapa hektar padi dan jagung yang harus ditanam agar keuntungan maksimal?

  Pembahasan (Contoh Soal 1 Final):

  • Variabel:

    • $x$: luas lahan untuk padi (hektar)
    • $y$: luas lahan untuk jagung (hektar)

  • Fungsi Tujuan (Keuntungan maksimal):
    $Z = 800.000x + 600.000y$

  • Fungsi Kendala:

    1. Luas lahan: $x + y le 10$
    2. Jam kerja: $6x + 4y le 48$ (disederhanakan menjadi $3x + 2y le 24$)
    3. Non-negatif: $x ge 0, y ge 0$

  • Titik-titik Pojok Daerah Feasible:

    • Titik (0,0)
    • Perpotongan $x + y = 10$ dengan sumbu x ($y=0$): $x = 10$. Titik: (10, 0).
    • Perpotongan $3x + 2y = 24$ dengan sumbu y ($x=0$): $2y = 24 implies y = 12$. Titik: (0, 12).
    • Perpotongan $x + y = 10$ dengan sumbu y ($x=0$): $y = 10$. Titik: (0, 10).
    • Perpotongan $3x + 2y = 24$ dengan sumbu x ($y=0$): $3x = 24 implies x = 8$. Titik: (8, 0).
    • Perpotongan $x + y = 10$ dan $3x + 2y = 24$.
      Dari $x + y = 10 implies y = 10 – x$.
      Substitusikan ke $3x + 2y = 24$:
      $3x + 2(10 – x) = 24$
      $3x + 20 – 2x = 24$
      $x + 20 = 24$
      $x = 4$.
      $y = 10 – 4 = 6$.
      Titik potong: (4, 6).

  • Titik Pojok yang Valid:
    Kita perlu memeriksa apakah semua titik potong memenuhi semua kendala.

    • (0,0): Memenuhi semua.
    • (10,0): $10+0 le 10$ (Benar), $3(10)+2(0) = 30 notle 24$ (Salah). Titik (10,0) tidak valid.
    • (0,12): $0+12 le 10$ (Salah). Titik (0,12) tidak valid.
    • (0,10): $0+10 le 10$ (Benar), $3(0)+2(10) = 20 le 24$ (Benar). Titik (0,10) valid.
    • (8,0): $8+0 le 10$ (Benar), $3(8)+2(0) = 24 le 24$ (Benar). Titik (8,0) valid.
    • (4,6): $4+6 = 10 le 10$ (Benar), $3(4)+2(6) = 12+12 = 24 le 24$ (Benar). Titik (4,6) valid.

  Jadi, titik-titik pojok yang valid adalah (0,0), (0,10), (8,0), dan (4,6).

  • Evaluasi Fungsi Tujuan pada Titik Pojok:
    • $Z(0,0) = 800.000(0) + 600.000(0) = 0$
    • $Z(0,10) = 800.000(0) + 600.000(10) = 6.000.000$
    • $Z(8,0) = 800.000(8) + 600.000(0) = 6.400.000$
    • $Z(4,6) = 800.000(4) + 600.000(6) = 3.200.000 + 3.600.000 = 6.800.000$

  Keuntungan maksimal adalah Rp6.800.000, yang diperoleh jika petani menanam 4 hektar padi dan 6 hektar jagung.

>

2. Matriks: Fondasi Aljabar Linear

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam baris dan kolom, berbentuk persegi panjang. Konsep matriks sangat penting dalam berbagai bidang, termasuk fisika, teknik, ekonomi, dan ilmu komputer.

Konsep Kunci:

• Ordo Matriks: Jumlah baris $times$ jumlah kolom.
• Kesamaan Matriks: Dua matriks sama jika memiliki ordo yang sama dan elemen-elemen yang bersesuaian sama.
• Penjumlahan & Pengurangan Matriks: Dilakukan jika kedua matriks memiliki ordo yang sama, dengan menjumlahkan/mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian.
• Perkalian Matriks dengan Skalar: Mengalikan setiap elemen matriks dengan skalar.
• Perkalian Matriks: Dilakukan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua.
• Determinan Matriks: Nilai skalar yang terkait dengan matriks persegi. Untuk matriks 2×2, $beginvmatrix a & b c & d endvmatrix = ad – bc$.
• Invers Matriks: Matriks yang jika dikalikan dengan matriks aslinya menghasilkan matriks identitas. Untuk matriks 2×2 $A = beginpmatrix a & b c & d endpmatrix$, inversnya $A^-1 = frac1ad-bc beginpmatrix d & -b -c & a endpmatrix$, asalkan $ad-bc ne 0$.

Contoh Soal 2:

Diberikan matriks $A = beginpmatrix 2 & -1 3 & 4 endpmatrix$, $B = beginpmatrix 1 & 5 -2 & 0 endpmatrix$, dan $C = beginpmatrix -3 1 endpmatrix$.

a. Hitunglah $2A – B$.
b. Hitunglah $A times C$.
c. Tentukan determinan dari matriks $A$.
d. Tentukan invers dari matriks $A$.

Pembahasan:

a. $2A – B$:
Pertama, hitung $2A$:
$2A = 2 times beginpmatrix 2 & -1 3 & 4 endpmatrix = beginpmatrix 2 times 2 & 2 times (-1) 2 times 3 & 2 times 4 endpmatrix = beginpmatrix 4 & -2 6 & 8 endpmatrix$

Kemudian, kurangkan dengan $B$:
$2A – B = beginpmatrix 4 & -2 6 & 8 endpmatrix – beginpmatrix 1 & 5 -2 & 0 endpmatrix = beginpmatrix 4-1 & -2-5 6-(-2) & 8-0 endpmatrix = beginpmatrix 3 & -7 8 & 8 endpmatrix$

b. $A times C$:
Matriks $A$ berordo $2 times 2$ dan matriks $C$ berordo $2 times 1$. Perkalian $A times C$ dapat dilakukan karena jumlah kolom $A$ (2) sama dengan jumlah baris $C$ (2). Hasil perkalian akan berordo $2 times 1$.

$A times C = beginpmatrix 2 & -1 3 & 4 endpmatrix times beginpmatrix -3 1 endpmatrix$
Elemen baris pertama hasil: $(2 times -3) + (-1 times 1) = -6 – 1 = -7$.
Elemen baris kedua hasil: $(3 times -3) + (4 times 1) = -9 + 4 = -5$.

Jadi, $A times C = beginpmatrix -7 -5 endpmatrix$.

c. Determinan dari matriks $A$:
Untuk matriks $A = beginpmatrix a & b c & d endpmatrix$, determinannya adalah $ad – bc$.
$A = beginpmatrix 2 & -1 3 & 4 endpmatrix$
$det(A) = (2 times 4) – (-1 times 3) = 8 – (-3) = 8 + 3 = 11$.

d. Invers dari matriks $A$:
Menggunakan rumus invers untuk matriks 2×2: $A^-1 = frac1det(A) beginpmatrix d & -b -c & a endpmatrix$.
Kita sudah mendapatkan $det(A) = 11$.
$A^-1 = frac111 beginpmatrix 4 & -(-1) -3 & 2 endpmatrix = frac111 beginpmatrix 4 & 1 -3 & 2 endpmatrix = beginpmatrix frac411 & frac111 -frac311 & frac211 endpmatrix$.

>

3. Transformasi Geometri: Mengubah Posisi dan Bentuk

Transformasi geometri adalah perubahan posisi, ukuran, dan bentuk suatu objek geometri pada bidang datar. Materi ini melibatkan berbagai jenis transformasi.

Konsep Kunci:

• Translasi (Pergeseran): Memindahkan setiap titik sejauh vektor tertentu. Jika titik $P(x,y)$ ditranslasikan oleh $T(a,b)$, maka bayangannya adalah $P'(x+a, y+b)$.
• Refleksi (Pencerminan): Mencerminkan titik terhadap garis atau titik tertentu.
  • Terhadap sumbu-x: $(x,y) to (x,-y)$
  • Terhadap sumbu-y: $(x,y) to (-x,y)$
  • Terhadap garis $y=x$: $(x,y) to (y,x)$
  • Terhadap garis $y=-x$: $(x,y) to (-y,-x)$
  • Terhadap titik asal O(0,0): $(x,y) to (-x,-y)$
• Rotasi (Perputaran): Memutar titik mengelilingi pusat tertentu sejauh sudut tertentu. Rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap O(0,0): $(x,y) to (-y,x)$. Rotasi 180° terhadap O(0,0): $(x,y) to (-x,-y)$.
• Dilatasi (Perkalian): Mengubah ukuran objek dengan faktor skala tertentu dari pusat dilatasi. Jika titik $P(x,y)$ didilatasi terhadap pusat $O(0,0)$ dengan faktor skala $k$, maka bayangannya adalah $P'(kx, ky)$.

Contoh Soal 3:

Titik $A(3, -2)$ diubah melalui serangkaian transformasi geometri:

1. Ditranslasikan oleh $T = (-1, 4)$.
2. Bayangannya kemudian dicerminkan terhadap sumbu-y.
3. Bayangan terakhir diputar sebesar 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal O(0,0).

Tentukan koordinat titik bayangan terakhir!

Pembahasan:

Mari kita lakukan transformasi satu per satu.

• Langkah 1: Translasi
  Titik $A(3, -2)$ ditranslasikan oleh $T(-1, 4)$.
  Koordinat bayangan pertama, sebut saja $A’$, adalah:
  $A'(x’, y’) = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2)$.

• Langkah 2: Refleksi terhadap sumbu-y
  Titik $A'(2, 2)$ dicerminkan terhadap sumbu-y. Aturan refleksi terhadap sumbu-y adalah $(x,y) to (-x,y)$.
  Koordinat bayangan kedua, sebut saja $A”$, adalah:
  $A”(x”, y”) = (-2, 2)$.

• Langkah 3: Rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap O(0,0)
  Titik $A”(-2, 2)$ diputar sebesar 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal. Aturan rotasi 90° berlawanan arah jarum jam adalah $(x,y) to (-y,x)$.
  Koordinat bayangan terakhir, sebut saja $A”’$, adalah:
  $A”'(x”’, y”’) = (-2, -2)$.

Jadi, koordinat titik bayangan terakhir adalah $(-2, -2)$.

>

4. Barisan dan Deret: Pola Angka yang Teratur

Barisan adalah daftar angka yang diurutkan mengikuti pola tertentu. Deret adalah jumlahan dari suku-suku dalam suatu barisan.

Konsep Kunci:

• Barisan Aritmetika: Selisih antara dua suku berturutan adalah konstan (disebut beda, $b$).
  • Suku ke-n: $U_n = a + (n-1)b$
  • Jumlah n suku pertama: $S_n = fracn2(a + U_n) = fracn2(2a + (n-1)b)$
• Barisan Geometri: Rasio antara dua suku berturutan adalah konstan (disebut rasio, $r$).
  • Suku ke-n: $U_n = a cdot r^n-1$
  • Jumlah n suku pertama: $S_n = fraca(r^n – 1)r-1$ (jika $r > 1$) atau $S_n = fraca(1 – r^n)1-r$ (jika $r < 1$)
• Deret Geometri Tak Hingga: Jika $|r| < 1$, maka jumlah deret tak hingga adalah $S_infty = fraca1-r$.

Contoh Soal 4:

a. Suku kelima barisan aritmetika adalah 17 dan suku kedelapan adalah 29. Tentukan suku pertama dan bedanya!
b. Suku pertama suatu barisan geometri adalah 3 dan suku kelima adalah 48. Tentukan rasio dan jumlah 6 suku pertama barisan tersebut!
c. Tentukan jumlah tak hingga dari deret geometri $12 + 6 + 3 + dots$!

Pembahasan:

a. Barisan Aritmetika:
Diketahui:
$U_5 = 17$
$U_8 = 29$

Menggunakan rumus $U_n = a + (n-1)b$:
$U_5 = a + (5-1)b = a + 4b = 17$ (Persamaan 1)
$U_8 = a + (8-1)b = a + 7b = 29$ (Persamaan 2)

Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
$(a + 7b) – (a + 4b) = 29 – 17$
$3b = 12$
$b = 4$

Substitusikan nilai $b=4$ ke Persamaan 1:
$a + 4(4) = 17$
$a + 16 = 17$
$a = 1$

Jadi, suku pertama ($a$) adalah 1 dan bedanya ($b$) adalah 4.

b. Barisan Geometri:
Diketahui:
$a = 3$
$U_5 = 48$

Menggunakan rumus $U_n = a cdot r^n-1$:
$U_5 = 3 cdot r^5-1 = 3 cdot r^4 = 48$
$r^4 = frac483 = 16$
$r = sqrt16$
Karena biasanya kita mencari nilai positif kecuali ada konteks lain, maka $r=2$. (Bisa juga $r=-2$ tapi mari kita ambil yang positif).

Jumlah 6 suku pertama ($S_6$) menggunakan rumus $S_n = fraca(r^n – 1)r-1$ (karena $r=2 > 1$):
$S_6 = frac3(2^6 – 1)2-1 = frac3(64 – 1)1 = 3(63) = 189$.

Jadi, rasio ($r$) adalah 2 dan jumlah 6 suku pertama ($S_6$) adalah 189.

c. Deret Geometri Tak Hingga:
Deret: $12 + 6 + 3 + dots$
Suku pertama ($a$) = 12.
Rasio ($r$) = $frac612 = frac12$.

Karena $|r| = |frac12| < 1$, maka jumlah tak hingganya ada.
Menggunakan rumus $Sinfty = fraca1-r$:
$Sinfty = frac121 – frac12 = frac12frac12 = 12 times 2 = 24$.

Jadi, jumlah tak hingga dari deret geometri tersebut adalah 24.

>

Penutup:

Memahami konsep matematika kelas 11 semester 1 memerlukan latihan yang konsisten dan pemahaman mendalam terhadap setiap topik. Contoh soal di atas hanyalah sebagian kecil dari variasi soal yang mungkin Anda temui. Kuncinya adalah:

• Pahami Konsep: Jangan hanya menghafal rumus, tapi pahami asal-usul dan penerapannya.
• Latihan Rutin: Kerjakan berbagai macam soal, mulai dari yang mudah hingga yang sulit.
• Diskusi: Bertukar pikiran dengan teman atau guru dapat membantu Anda melihat sudut pandang lain dan memecahkan masalah yang sulit.
• Jangan Takut Bertanya: Jika ada materi yang tidak dipahami, jangan ragu untuk bertanya.

Dengan persiapan yang matang dan strategi belajar yang tepat, Anda pasti bisa menaklukkan matematika kelas 11 semester 1 dan meraih hasil yang gemilang! Selamat belajar!

>